指数関数と三角関数の関係

指数関数と三角関数を結びつけるものはオイラーの定理が基本になる。

オイラーの定理

指数関数において、累乗の指数の部分が複素数になる場合、その値は次のように定義される。



複素数の積はやはり複素数である。
n 回乗じた場合に極限値がどういう値に近づくかを考えると、偏角がθ、絶対値が1の複素数に近づく。
これがオイラーの定理である。




三角関数を指数関数で表す

e = cosθ + isinθ

e-iθ = cos(-θ) + isin(-θ) = cosθ - isinθ

e + e-iθ = 2cosθ

cosθ = ( e + e-iθ ) / 2

sinθ = ( e - e-iθ ) / ( 2i )


加法定理

虚数の指数に対しても指数法則が成り立つから、たとえば三角関数の公式も次のように導ける。

e・e

= ( cosα + isinα )( cosβ + isinβ ) 

= ( cosαcosβ - sinαsinβ ) + i( sinαcosβ + cosαsinβ ) 

また

e・e = ei(α+β) = cos(α+β) + isin(α+β)

したがって

cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ


2倍角の公式

sin2θ = ( ei2θ - e-i2θ ) / ( 2i ) = ( (e)2 - (e-iθ)2 ) / ( 2i )

= ( e - e-iθ )( e + e-iθ ) / ( 2i )

= 2 ( e - e-iθ ) / (2i)・( e + e-iθ ) / 2

= 2sinθcosθ


e の微分

eはθを変数とみたとき、オイラーの公式から絶対値1で偏角θになる動きをすることがわかる。すなわち複素数(ガウス)平面上で原点を中心とする半径1の円周上を動く。

eは1から円周にそってθだけ進んだ位置にある。微分の定義から

( ei(θ + ⊿θ) - e ) / ⊿θ

上の⊿θを0に近づけた場合の値を考えると、絶対値は1に近づき、偏角は θ + π/2 に近づくことがわかる。

すなわち、このようなベクトルは ei(θ + π/2) である。

ei(θ + π/2) = e・eiπ/2 = e・i = i・e

したがって、e を微分すると、i・e となる。

簡単にいうと、i を定数とみてθで微分したものになる。 また、これは図形的には接線と半径が垂直になっていることを表す。

ちなみに、

( e )' = -sinθ + icosθ = i2sinθ + icosθ = i(cosθ + isinθ) = i・e

である。

- 2015/08/26(移記) -










最近の傾向

ビジネスジャーナル(2016年6月24日配信)によると「大学の小学校化が深刻…授業でbe動詞や単純な割り算」というのが出ていた。文部科学省が「be動詞は大学水準とはいえない」と苦言を呈したことや、「動物園」の読み仮名、「flower」の日本語訳などの問題をはじめとして、大学で使用する教科書が小学校低学年向けの内容になっているという。もう、笑ってしまう。大学生の勉強時間は小学生より少ないから当然かもしれない。ナリだけは大きくなったがアタマは空っぽ。身についたのはコピペのための手先の器用さだけ。これがうすら寒い日本愚民大国の実相である。


シーズンネタ

毎年4月は、新入社員、新入生など「新入」がつく人種が増加する月である。そのせいでもあるまいとは思うが、4月、5月のアクセスには顕著な特徴がある。

【法則】ネットバカは毎年毎年大量生産される。

新入社員といえば、エクセルバカネタが定番中の定番である。その量は膨大である。アホらしいほどのオバカたちの妄言のオンパレードである。能はない、識字能力もない。しかし、ソース取りにだけはセッセと飛び回る。まさにこの連中は五月の蝿(うるさい)である(笑)。

新入生の場合は、昨今流行(はやり)の簡単入試のおかげで勉強せずに大学に入れるようになったために、高校の教科書程度の学習内容が異常に多い。たとえば、オイラーの定理(cb_0104)、テーラーの定理(cb_0105)、マクローリンの定理(cb_0106)、ビネの公式(cb_0107)などがその典型である。これらは一般人が見ることもない、学生専用ネタである。勉強もせずに大学に入ったオトコが、オイラーの定理ってなんなのさと、スマホでこんなものを見ているということである。
SAMPLE
●IPアドレス: 192.218.160.92 ●ホスト名 : pat2-2.kwansei.ac.jp
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●IPアドレス: 133.19.169.5 ●ホスト名 : rundc2005.ritsumei.ac.jp
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●IPアドレス: 133.14.196.30 ●ホスト名 : dot1xs1054.14-192-19.wlan.ms.dendai.ac.jp
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●IPアドレス: 133.1.254.155 ●ホスト名 : odins-1x.osaka-u.ac.jp
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●IPアドレス: 133.31.18.69 ●ホスト名 : kaguproxy2.ed.tus.ac.jp
133.31.18.69 - - [16/May/2022:08:45:45 +0900] "GET /tavern/cfb/cb2/cb_0104.html HTTP/1.1" 200 5499 "https://search.yahoo.co.jp/" "Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 15_4_1 like Mac OS X) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/15.4 Mobile/15E148 Safari/604.1"
●IPアドレス: 133.42.139.180 ●ホスト名 : ipl57.sys.wakayama-u.ac.jp
133.42.139.180 - - [13/Jun/2022:13:40:27 +0900] "GET /tavern/cfb/cb2/cb_0104.html HTTP/1.1" 200 5896 "https://www.google.com/" "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/102.0.0.0 Safari/537.36"

こういうことなら、cb_0104~0107を「cfbエリア」に置いたのは失敗だったかもしれない。低能学生ネタは本を読まないからbookエリアに集めたつもりだったが、それに当てはまらない種類の低能学生がこちらにやってきたことは誤算だった。確かに低能学生は本は読まない。しかしそれだからこそ本に書いてあるようなことをスマホで手軽に求める。これをコロッと忘れていた。

やはりbook以外にも低能学生エリア(中学高校程度のレベルで十分である)は残しておいたほうがよかったのかもしれない。内容的には愚民ネタではないのだが、結果的には愚民ネタになってしまった。なかなかこちらの想定通りにはいかないものである(笑)。


学生の低能化

高校の教科書のレベルが落ちていることを指摘した次のような新聞記事がある。この指摘自体は目新しいものではない。かねてから色々な所で何度も指摘されてきたものである。
NEWS BOX
現行の「薄味」の教科書でもついて行けない層は増え、大学では、新入生を対象に中学・高校レベルの学び直しが拡がっている。(中略)。大学側のテキストも中学、高校レベルのものが多くなっている。「全入時代」目前で大学入試も易しくなり、中高のやり直しをきちんとさせなければ、その後の授業が成り立たないからだ。
- 朝日新聞2008/04/02 -
この新聞報道によると、今や大学に入学してきた1年生の多くの英語力は中学卒業程度である。文の成り立ち、時制、受動態などの中学レベルから始めなければ大学教育ができない。数学では高校レベルの数学1~3の復習は当然必要になる。中には中学程度の基礎的な計算力があるのか疑わしい者も多い。また漢字をはじめ他の分野でも無知識化が進行している。そして、この低学力化は学科テストがない推薦入試で入った者に特に顕著であるという。

もう数十年前のことだが、福岡で高校の先生をしている知人が、新入生は小学校5年程度の分数などの計算ができない者が大半である。そこからやっていかないと高校課程などの内容は到底無理だ。卒業までに中学程度のことが終れば万々歳だ、と嘆いていたことを思い出す。

学生がモノを知っているなどということは50年ほど前までの話である。今では中学程度のことも知らないと思っていた方が無用のストレスを感じなくていいだろう。ここでここで戯画的に「中高生ネタ」「幼児ネタ」などとして取り上げていることも、今では低能化した大学生にはレベルが高すぎることなのかもしれない。その反面、コピペの悪知恵だけは抜群に発達しているのである。
NOTE
ぎがてき。ふざけてかいたマンガのような場面を持ち出して話のネタにすること。おちょくっていること。

- 2016/04/27 -




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